Quatérnios: estrutura algébrica e aplicação em análise de sinais

Este trabalho apresenta um estudo sobre a álgebra dos quatérnios e sua aplicação na análise de sinais elétricos, propondo uma implementação computacional da série de Fourier quaterniônica (QFT) como alternativa à Transformada de Fourier clássica (FFT). Os quatérnios foram criados por William Rowan Hamilton em 1843 como uma extensão tridimensional dos números complexos, superando o problema dos `tripletos' e estabelecendo a base para operações em quatro dimensões. A fundamentação teórica aborda as propriedades algébricas dos quatérnios, incluindo soma, multiplicação, módulo, norma, conjugado e representação polar, além das definições de quatérnio unitário, puro e das funções exponencial e logarítmica quaterniônicas. A partir dessas formulações, desenvolve-se o arcabouço matemático necessário para a compreensão da QFT, destacando-se as diferenças estruturais em relação à transformada complexa, especialmente quanto à não comutatividade multiplicativa e à existência de versões `direita' e `esquerda'. Na aplicação prática, o trabalho analisa distorções harmônicas em sistemas elétricos de potência, que decorrem de cargas não lineares, como inversores, retificadores, fornos elétricos a arco e outros. Essas distorções são tradicionalmente avaliadas pela FFT, mas este trabalho tem como objetivo utilizar a QFT para o tratamento dos sinais trifásicos em relação as componentes harmônicas inteiras, inter-harmônicas e sub-harmônicas. A metodologia consistiu em implementar computacionalmente a QFT utilizando a linguagem Python, com base nos princípios matemáticos desenvolvidos ao longo do trabalho, e em comparar seus resultados com os da FFT tradicional. Essa implementação buscou verificar a precisão numérica, a eficiência e o potencial interpretativo da QFT no contexto de análise de sinais elétricos. Conclui-se que a QFT oferece uma alternativa promissora à transformada clássica, possibilitando análises mais completas e representações mais detalhadas de sinais tridimensionais, ainda que à custa de maior complexidade matemática e computacional.