Quatérnios: estrutura algébrica e aplicação em análise de sinais

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Autor(es)
Paim, Breno Lopes

Orientado(es)
Doutor Rafael Vinicius Tayette da Nobrega

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Abstract

This work presents a study on quaternion algebra and its application to the analysis of electrical signals, proposing a computational implementation of the Quaternion Fourier Transform (QFT) as an alternative to the classical Fast Fourier Transform (FFT). Quaternions were introduced by William Rowan Hamilton in 1843 as a three-dimensional extension of complex numbers, overcoming the limitations of “triplets” and establishing the foundation for operations in four dimensions. The theoretical framework covers the algebraic properties of quaternions, including addition, multiplication, modulus, norm, conjugation, and polar representation, as well as the definitions of unit and pure quaternions and the quaternionic exponential and logarithmic functions. Based on these formulations, the mathematical structure required to understand the QFT is developed, highlighting the structural differences in relation to the complex transform, especially regarding multiplicative non-commutativity and the existence of left- and right-sided versions. In the practical application, the study examines harmonic distortions in electric power systems caused by nonlinear loads such as inverters, rectifiers, electric arc furnaces, and others. These distortions are traditionally evaluated using the FFT, but this work aims to employ the QFT for processing three-phase signals with respect to integer harmonics, interharmonics, and subharmonics. The methodology consisted of implementing the QFT computationally in Python, based on the mathematical principles established throughout the work, and comparing its results with those of the traditional FFT. This implementation sought to assess the numerical accuracy, efficiency, and interpretative potential of the QFT in the context of electrical signal analysis. The results indicate that the QFT provides a promising alternative to the classical transform, enabling more comprehensive analyses and more detailed representations of three-dimensional signals, although at the cost of increased mathematical and computational complexity.


Resumo

Este trabalho apresenta um estudo sobre a álgebra dos quatérnios e sua aplicação na análise de sinais elétricos, propondo uma implementação computacional da série de Fourier quaterniônica (QFT) como alternativa à Transformada de Fourier clássica (FFT). Os quatérnios foram criados por William Rowan Hamilton em 1843 como uma extensão tridimensional dos números complexos, superando o problema dos `tripletos' e estabelecendo a base para operações em quatro dimensões. A fundamentação teórica aborda as propriedades algébricas dos quatérnios, incluindo soma, multiplicação, módulo, norma, conjugado e representação polar, além das definições de quatérnio unitário, puro e das funções exponencial e logarítmica quaterniônicas. A partir dessas formulações, desenvolve-se o arcabouço matemático necessário para a compreensão da QFT, destacando-se as diferenças estruturais em relação à transformada complexa, especialmente quanto à não comutatividade multiplicativa e à existência de versões `direita' e `esquerda'. Na aplicação prática, o trabalho analisa distorções harmônicas em sistemas elétricos de potência, que decorrem de cargas não lineares, como inversores, retificadores, fornos elétricos a arco e outros. Essas distorções são tradicionalmente avaliadas pela FFT, mas este trabalho tem como objetivo utilizar a QFT para o tratamento dos sinais trifásicos em relação as componentes harmônicas inteiras, inter-harmônicas e sub-harmônicas. A metodologia consistiu em implementar computacionalmente a QFT utilizando a linguagem Python, com base nos princípios matemáticos desenvolvidos ao longo do trabalho, e em comparar seus resultados com os da FFT tradicional. Essa implementação buscou verificar a precisão numérica, a eficiência e o potencial interpretativo da QFT no contexto de análise de sinais elétricos. Conclui-se que a QFT oferece uma alternativa promissora à transformada clássica, possibilitando análises mais completas e representações mais detalhadas de sinais tridimensionais, ainda que à custa de maior complexidade matemática e computacional.

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https://hdl.handle.net/20.500.14387/2792

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